计算机程序设计艺术

背景：

已知关于调和级数\(H_n\)的基本定义，在前期我们也了解了两类斯特林数\(\require{AMSmath}\left[ \genfrac{}{}{0pt}{}{n}{m}\right]\)和\(  \genfrac{\{}{\}}{0pt}{}{n}{m}  \)的基本知识

问题：

基于调和级数与第一类斯特林数的基本定义，证明两者之间的关系\(H_n =\left[ \genfrac{}{}{0pt}{}{n}{2}\right]/n! \)

解构：

首先需要明确第一类斯特林数\(\newcommand{\R}[2] {\left[ \genfrac{}{}{0pt}{}{#1}{#2}\right]}\: \R{n}{m}\)具备的相关性质：因为第一类斯特林数\(\R{n}{m}\)出现的初衷即是为了将阶乘幂级数转化为常规幂级数，如下：

$$
\begin{align}
x^{\underline{n}} &= x(x-1)(x-2)\cdots(x-n+1) \\
&= \sum_{k} (-1)^{n-k}\R{n}{k}x^k \\
\end{align}
$$