背景：
我们已经清楚了调和级数\(H_n\)的基本定义，即\(H_n=\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k}\)
问题：
现根据调和级数的定义，设定函数\(T_{(m,n)}=H_m + H_n-H_{mn}\)。1）证明所设定的函数\(T_{(m,n)}\)在变量n固定时，\(T_{(m,n)}\)随着m的增大不呈现增大的趋势；对于m固定，n增大时亦然。2）求解\(T_{(m,n)}\)在变量m和变量n下的最大值和最小值
解构：
问题01）解构：
为确定\(T_{(m,n)}\)随着变量m和变量n的变化趋势，我们首先的想法是确定相邻项之间的基本关系，即\(T_{(m,n)}\)与\(T_{(m+1,n)}\)和\(T_{(m,n+1)}\)的大小关系，以\(T_{(m+1,n)}\)为例具体如下：
$$
\begin{align}
T_{(m+1,n)}-T_{(m,n)} &=
H_{m+1}-H_m -\left( H_{(m+1)n} – H_{mn}\right) \\
&= \frac{1}{m+1}-\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{mn+k} \\
& \lt \frac{1}{m+1}-n \cdot \frac{1}{mn+n} \\
&= 0
\end{align}
$$
由此，能够明确在变量n固定的情况下，变量m增大时，\(T_{(m,n)}\)呈现出下降的趋势；同理变量n增大时，\(T_{(m,n)}\)也呈现出下降的趋势。
问题02）解构：
为确定\(T_{(m,n)}\)的极值情况，首要需确定其差分情况，而这已经在问题01）中得到确定，即
$$
\begin{cases}
\Delta_m T_{(m,n)} &\lt 0 \\
\Delta_n T_{(m,n)} &\lt 0
\end{cases} \\
\Downarrow \\
\begin{cases}
T_{(m,n)}^{max} &= T_{(1,1)} \\
T_{(m,n)}^{min} &= T_{(\infty,\infty)}
\end{cases}
$$
显然\(T_{(1,1)}=1\)，下面分析\(T_{(\infty,\infty)}\)的值，解构如下：
$$
H_n = lnn+\gamma + \frac{1}{2n}-\frac{1}{12n^2}+\frac{1}{120n^4}-\epsilon \\
\Downarrow \\
\lim_{n \to \infty}H_n = lnn + \gamma \\
\Downarrow \\
T_{(\infty,\infty)} = lnm +lnn -lnmn +\gamma = \gamma
$$
由此，我们得到\(T_{(m,n)}^{max}=1,\: T_{(m,n)}^{min}=\gamma\)
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