背景：
现在已经有了关于调和级数\(H_n\)的估计值表达式，具体如下：
$$
H_n = lnn + \gamma + \frac{1}{2n}-\frac{1}{12n^2}+\frac{1}{120n^4}-\epsilon,\: \epsilon \in (0,\frac{1}{252n^6})
$$
问题：
估计调和级数\(H_{1000}\)的值，并保留15位小数
解答：
根据背景中的估计表达式，我们逐一解析各个项的小数位数\(\: \dagger \text{参考附表中的相关项的40位小数估计}\)如下（注：第二十位数字由第二十一位四舍五入得到）
$$
\begin{array}
ln10 & \rightarrow & 1\times 6.90775\: 52789\: 82137\: 05205\cdots \\
\gamma & \rightarrow & 1\times 0.57721\: 56649\: 01532\: 86060\cdots \\
\frac{1}{2n} & \rightarrow & 1\times 0.00050 \: 00000\: 00000\:00000\cdots \\
\frac{1}{12n^2} & \rightarrow & 1\times 0.00000\: 08333\:33333\:33333 \cdots \\
\frac{1}{120n^4}& \rightarrow & 1\times 0.00000\:00000\:00008\:33333 \cdots\\
\frac{1}{252n^6}&\rightarrow & 1\times 0.00000\: 00000\: 00000\: 000 00\cdots
\end{array}
$$
既然是需要保留15位小数，那么我们需要关注的两个问题是：1）各个待加减项的前15位；2）第16位的进位问题。
对于问题01），对各个位数上的数字展开加和，按照十进制规则进行“逢十进一”，得到结果如下：
$$
\begin{array}
+ & 1\times 6.90775\: 52789\: 82137\: 05205\cdots \\
+ & 1\times 0.57721\: 56649\: 01532\: 86060\cdots \\
+ & 1\times 0.00050 \: 00000\: 00000\:00000\cdots \\
– & 1\times 0.00000\: 08333\:33333\:33333 \cdots \\
+ & 1\times 0.00000\:00000\:00008\:33333 \cdots\\
– & 1\times 0.00000\: 00000\: 00000\: 000 00\cdots \\
\Downarrow \\
+ & 7.48547 \: 01105 \: 50344 \cdots \\
\end{array}
$$
对于问题02），我们将重心集中于第15位之后的系列位次上的数相加减之后的进位状态，记各项第n位的和\(S_n\)，则各个位对第15位进位数\(B_{15}\)的贡献表达如下
$$
\begin{align}
B_{15} &=S_{16}\cdot 10^{-1}+S_{17}\cdot 10^{-2}+\cdots \\
&= \sum_{k\ge16} S_{k}\cdot 10^{15-k} \\
&= 8\cdot 10^{-1}+11\cdot 10^{-2}+2\cdot 10^{-3}+\cdots \\
& \lt 1
$$
因此，第15位之后的位数在进行加减操作后，为能对第15位产生影响，至此我们得到调和级数\(H_{1000}\)的15位小数近似值为\(7.48547 \: 01105 \: 50344\)
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