背景：
在前期讨论调和级数\(H_n\)的收敛性时，我们已经通过论证\(H_{2^m} \gt 1+\frac{m}{2}\)证明了调和级数的发散性，并且找到了二项式系数\(H_{2^m}\)的下限
问题：
在上面所说的下限的基础上，寻找调和级数的一个上限，即论证\(H_{2^m}\lt 1+m\)
解答：
采取在论证调和级数的下限时的同样做法，即探讨相邻调和级数\(H_{2^m}\)与\(H_{2^{m-1}}\)之间的基本关系。
$$
\begin{align}
H_{2^{m}}
&= H_{2^{m-1}} + \frac{1}{2^{m-1}+1}+\cdots + \frac{1}{2^{m}} \\
&\lt H_{2^{m-1}} + \frac{2^{m-1}}{2^{m-1}+1} \\
&\lt H_{2^{m-2}} + \frac{2^{m-1}}{2^{m-1}+1}+\frac{2^{m-2}}{2^{m-2}+1} \\
&\lt \cdots \\
&\lt H_{2^0}+\sum_{k=0}^{m-1} \frac{2^k}{2^k+1} \\
&\lt 1+ m
\end{align}
$$
发表评论