在前面叙述中，我们已清楚了关于调和级数\(\mathbb{H_n}\)的相关求和公式，如下：
$$
\require{AMSmath}
\begin{cases}
\sum_{k=1}^{n} \mathbb{H_k} &= (n+1)\mathbb{H_n}-n \\
\sum_{k=1}^{n}\binom{k}{m} \mathbb{H_k} &= \binom{n+1}{m+1}\mathbb{H_n} – \frac{n}{(m+1)^2}
\end{cases}
$$
在上述结论基础上，我们尝试着进一步扩展到求和\(\sum_{k=1}^{n}\binom{n}{k} x^k \mathbb{H_k} \)，看这个求和公式会呈现出与上述两求和公式什么不一样的特征。
在开始对其求和进行解构前，我们首先需要观察其相关定性：变量x的指数与二项式\(\binom{n}{k}\)的下指数一致，可以考虑论证相邻的指数所呈现出的关系。
记上述求和为\(S_n\)，则\(S_n\)可以展开如下：
$$
\begin{align}
S_n &= \sum_{k=1}^{n} \binom{n}{k} x^k H_k \\
&= \sum_{k=1}^{n} \left( \binom{n-1}{k} + \binom{n-1}{k-1} \right) x^k H_k \\
&= \sum_{k=1}^{n} \binom{n-1}{k} x^k H_k
+ x\sum_{k=1}^{n} \binom{n-1}{k-1} x^{k-1} H_{k-1} + \sum_{k=1}^{n} \binom{n-1}{k-1} x^{k} \frac{1}{k} \\
&= (1+x)S_{n-1}+ \frac{1}{n} \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} x^{k}-\frac{1}{n} \\
&= (1+x)S_{n-1}+ \frac{1}{n}(1+x)^n – \frac{1}{n} \\
\end{align}
$$
如此，我们获取了关于数列\(S_n\)的递推公式，在此基础上，可进一步获得数列\(S_n\)的表达式如下：
$$
\begin{align}
S_n &= (1+x)S_{n-1}+ \frac{(1+x)^n}{n} – \frac{1}{n} \\
&= (1+x)^2 S_{n-2} + \frac{(1+x)^n}{n-1}+\frac{(1+x)^n}{n}-\frac{1+x}{n-1}-\frac{1}{n} \\
&= \cdots \\
&= (1+x)^l S_{n-l} + (1+x)^n \sum_{k=n-l+1}^{n} \frac{1}{k} – \sum_{k=n-l+1}^{n} \frac{(1+x)^{n-k}}{k}\\
&= \cdots \\
&= (1+x)^n H_n – (1+x)^n \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k(1+x)^k}\\
\end{align}
$$
至此，我们就已经得到了\(S_n\)的基本表达式，而在这个表达式中，后项求和式子值得我们再细究下，将加和项中的\(\frac{1}{1+x}\)看成整体，记为变量y，那么可得到新的函数\(\phi(y)\)如下：
$$
\phi(y) = \sum_{k=1}^{\infty} \frac{y^k}{k} \\
\Downarrow \\
\phi'(y) = \sum_{k=0}^{\infty} y^{k} \\
\Downarrow \\
\phi'(y) = \frac{1}{1-y} \quad \dagger y \lt 1 \\
\Downarrow \\
\phi(y) = -ln(1-y)=ln\frac{1}{1-y} \\
\Downarrow \\
\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k(1+x)^k} = ln\frac{1+x}{x} – \sum_{k=n+1}^{\infty}\frac{1}{k(1+x)^k} \\
$$
如此，数列项\(S_n\)可进一步表征如下：
$$
\begin{align}
S_n &= (1+x)^n H_n – (1+x)^n \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k(1+x)^k}\\
&=(1+x)^n H_n – (1+x)^n ln\frac{1+x}{x} +(1+x)^n \sum_{k=n+1}^{\infty}\frac{1}{k(1+x)^k} \\
&\le (1+x)^n H_n – (1+x)^n ln\frac{1+x}{x} + \frac{x}{n+1}
\end{align}
$$
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