背景：
前期已梳理关于两个二项式系数乘积求和的相关公式，如卷积公式\(\require{AMSmath} \sum_{k} \binom{r}{k}\binom{s}{n-k}=\binom{r+s}{n}\)。
在此基础上，进一步梳理了三个二项式系数乘积求和公式，如\(\sum_{k}\binom{m-r+s}{k}\binom{n+r-s}{n-k}\binom{r+k}{m+n}\)
问题：
根据上述背景知识，证明下列三个二项式系数乘积求和等式的成立性：
$$
\sum_{k}(-1)^k \binom{l+m}{l+k}\binom{m+n}{m+k}\binom{n+l}{n+k} = \frac{(l+m+n)!}{l!m!n!}
$$
解构：
基本思路：先尝试将求和公式\(\sum_{k}\binom{m-r+s}{k}\binom{n+r-s}{n-k}\binom{r+k}{m+n}\)清理出来，并在此基础上证明求和公式\(\sum_{k}(-1)^k \binom{l+m}{l+k}\binom{m+n}{m+k}\binom{n+l}{n+k}\)
第一步：解构\(\sum_{k}\binom{m-r+s}{k}\binom{n+r-s}{n-k}\binom{r+k}{m+n}\)：
$$
\begin{align}
\sum_{k}\binom{m-r+s}{k}\binom{n+r-s}{n-k}\binom{r+k}{m+n}&=
\sum_{k}\binom{m-r+s}{k}\binom{n+r-s}{n-k} \sum_{j}\binom{r}{m+n-j}\binom{k}{j} \\
&= \sum_{j} \binom{r}{m+n-j} \left( \sum_{k}\binom{m-r+s}{k}\binom{n+r-s}{n-k}\binom{k}{j} \right) \\
&= \sum_{j} \binom{r}{m+n-j} \left( \sum_{k}\binom{m-r+s}{j} \binom{m-r+s-j}{k-j} \binom{n+r-s}{n-k} \right) \\
&= \sum_{j} \binom{r}{m+n-j}\binom{m-r+s}{j} \left( \sum_{k} \binom{m-r+s-j}{k-j} \binom{n+r-s}{n-k} \right) \\
&= \sum_{j} \binom{r}{m+n-j}\binom{m-r+s}{j} \binom{m+n-j}{m} \\
&= \sum_{j} \binom{r}{m}\binom{r-m}{n-j} \binom{m-r+s}{j} \\
&= \binom{r}{m} \binom{s}{n} = \frac{(l+m+n)!}{l!m!n!} \\
&= \frac{r!s!}{m!n!(r-m)!(s-n)!}
\end{align}
$$
第二步：在第一步的基础上，解构\(\sum_{k}(-1)^k \binom{l+m}{l+k}\binom{m+n}{m+k}\binom{n+l}{n+k}\)
首先对求和序列\(\sum_{k}\binom{m-r+s}{k}\binom{n+r-s}{n-k}\binom{r+k}{m+n}\)进行相关变换如下，令\(s=l+n, r =l+ m+n\)：
假设\(l\ge m \ge n\)，那么变量k的边界为\([-n,n]\)
$$
\begin{align}
\sum_{k}(-1)^k \binom{l+m}{l+k}\binom{m+n}{m+k}\binom{n+l}{n+k}
&= \sum_{k}(-1)^k \binom{l+m}{m-k}\binom{n+l}{n+k}\binom{m+n}{m+k} \\
&= \sum_{k}(-1)^k \binom{m+n}{n-k}\left( \sum_{j}\binom{n-k}{j}\binom{m+k}{n+k-j}\binom{m+l+j}{m+n} \right) \\
&= \sum_{k,j} (-1)^k \binom{m+n}{n-k}\binom{n-k}{j} \binom{m+k}{n+k-j} \binom{m+l+j}{m+n} \\
&= \sum_{k,j} (-1)^k \frac{1}{j!(n-k-j)!}\frac{1}{(m-n+j)!(n+k-j)!}\frac{(m+l+j)!}{(l+j-n)!} \\
&= \sum_{k,j} (-1)^k \binom{2n-2j}{n-j+k} \frac{(m+l+j)!}{(2n-2j)!(m-n+j)!} \\
&=
\end{align}
$$
$$
\binom{2n-2j}{n-k-j} \binom{}{}
$$
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