背景：
前期我们已经对二项式系数\(\require{AMSmath} \binom{n}{k}\)的相关性质进行了探讨，涉及其加和公式、展开公式、反演公式等
后续将关于二项式系数的相关性质探讨推衍至斯特林数（第一类斯特林数与第二类斯特林数），同样也涉及上述相关公式\(\quad \dagger \text{将会涉及两类斯特林数的对比探讨}\)：
加和公式：\(\genfrac{[}{]}{0}{0}{n+1}{m}=n\genfrac{[}{]}{0}{0}{n}{m}+\genfrac{[}{]}{0}{0}{n}{m-1}\)
展开公式：\(\sum_{k} \genfrac{[}{]}{0}{0}{n}{k}\binom{k}{m}=\genfrac{[}{]}{0}{0}{n+1}{m+1} \)
反演公式：\(\sum_{k} \genfrac{[}{]}{0}{0}{n}{k} \genfrac{\{}{\}}{0}{0}{k}{m}(-1)^{n-k}=\delta_{nm}\)
问题：
基于上述背景，在已知展开公式：\(\sum_{k} \genfrac{\{}{\}}{0}{0}{n+1}{k+1} \genfrac{[}{]}{0}{0}{k}{m}(-1)^{k-m}=\binom{n}{m}\)的情况下，尝试化简展开序列\(\sum_{k} \genfrac{\{}{\}}{0}{0}{k}{m} \genfrac{[}{]}{0}{0}{n+1}{k+1}(-1)^{k-m}\)
解构：考虑到上述两种展开序列之间的相似性，首先证明已知展开公式的成立性：
现已知如下两类斯特林数与二项式数之间的关系：
$$
\begin{cases}
\sum_{k} \genfrac{[}{]}{0}{0}{n+1}{k+1} \binom{k}{m} (-1)^{k-m} &= \genfrac{[}{]}{0}{0}{n}{m} \\
\sum_{k} \genfrac{\{}{\}}{0}{0}{k+1}{m+1} \binom{n}{k} (-1)^{n-k} &= \genfrac{\{}{\}}{0}{0}{n}{m} \\
\end{cases}
$$
$$
\begin{cases}
\sum_{k} \genfrac{[}{]}{0}{0}{n}{k} \binom{k}{m} &= \genfrac{[}{]}{0}{0}{n+1}{m+1} \\
\sum_{k} \genfrac{\{}{\}}{0}{0}{k}{m} \binom{n}{k} &= \genfrac{\{}{\}}{0}{0}{n+1}{m+1} \\
\end{cases}
$$
将加和序列\(\sum_{k} \genfrac{\{}{\}}{0}{0}{k}{m} \genfrac{[}{]}{0}{0}{n+1}{k+1}(-1)^{k-m}\)进一步解构如下：
$$
\begin{align}
\sum_{k} \genfrac{\{}{\}}{0}{0}{k}{m} \genfrac{[}{]}{0}{0}{n+1}{k+1}(-1)^{k-m}
&= \sum_{k} \genfrac{\{}{\}}{0}{0}{k}{m}\left( n\genfrac{[}{]}{0}{0}{n}{k+1} +\genfrac{[}{]}{0}{0}{n}{k} \right) (-1)^{k-m} \\
&= \sum_{k} \genfrac{[}{]}{0}{0}{n}{k}\genfrac{\{}{\}}{0}{0}{k}{m} (-1)^{k-m} + n \sum_{k} \genfrac{[}{]}{0}{0}{n}{k+1}\genfrac{\{}{\}}{0}{0}{k}{m} (-1)^{k-m} \\
&= \delta_{n,m} + n \sum_{k} \genfrac{[}{]}{0}{0}{n}{k+1}\genfrac{\{}{\}}{0}{0}{k}{m} (-1)^{k-m} \\
&= \delta_{n,m} + n\delta_{n-1,m} + n(n-1)\sum_{k} \genfrac{[}{]}{0}{0}{n-1}{k+1}\genfrac{\{}{\}}{0}{0}{k}{m} (-1)^{k-m} \\
& = \cdots \\
&= \delta_{n,m} + n\delta_{n-1,m} + n(n-1)\delta_{n-2,m} + \cdots + n(n-1)\cdots 1 \delta_{0,m} \\
&= n(n-1)\cdots (m+1) \\
&= \binom{n}{n-m} \\
&= \binom{n}{m}
\end{align}
$$
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