背景：
对于上指数为实数的二项式系数情况\(\require{AMSmath} \binom{x}{n}\)，我们已经了解到存在基本关系：\(\binom{x}{n} = \binom{x-1}{n} + \binom{x-1}{n-1}\)，这个时候需要抛出的第一个问题是：当替换n为n-1或者n+1时，上述基本等式是否仍然成立？更进一步的，如果基本关系的结构形式为：\(\binom{x}{n} = \binom{y}{n} + \binom{z}{n-1}\)时，当替换n为n-1或者n+1时，这一基本关系会存在何种变化？
问题：
假设现存在关于广义二项式系数的基本关系如下，其中\(x,y,z \in \mathcal{R}\)：
$$
\require{AMSmath}
\binom{x}{n} = \binom{y}{n} + \binom{z}{n-1},\quad x \ge n-1, y \ge n-1, z \gt n-2,n \in \mathbb{N} \& n \ge 2
$$
基于上述假设以及其定义的基本边界，证明下列两关系式：
$$
\begin{cases}
\binom{x}{n-1} \le \binom{y}{n-1} + \binom{z}{n-2} \Leftrightarrow y \ge z \\
\binom{x}{n+1} \le \binom{y}{n+1} + \binom{z}{n} \Leftrightarrow y \le z \\
\end{cases}
$$
在开展上述两不等式的证明工作前，首先分析函数\(\phi_k (x)=\binom{x}{k},k \in \mathbb{N^+}\)的基本特性：
- 函数\(\phi_k (x)为关于变量x的k阶次多项式\)；
- 总是存在特定值\(N^*\)，使得当变量\(x \gt N^*\)时，函数满足关系\(\phi_{k+1} (x) \gt \phi_k (x)\)；
- 函数\(\phi_k(x)\)存在k个零点，即\(x=0,1,2,\cdots, k-1\)
清楚了函数\(\phi_k (x)\)具备的基本特性后，再基于已知条件初步探讨变量\(x,y,z\)三者的基本关系：
$$
\binom{x}{n} = \binom{y}{n} + \binom{z}{n-1} \\
\Downarrow \\
\binom{x-1}{n}+\binom{x-1}{n-1} = \binom{y}{n} + \binom{z}{n-1} \\
\Downarrow \\
\begin{cases}
1.\quad y=z=x-1 \\
2.\quad y \gt x-1 \gt z \\
3.\quad y \lt x-1 \lt z \\
\end{cases}
$$
显然，对于第一种关系，结论很明显，这里不再展开论述，下面着重关注第二种与第三种关系，即变量\(y \neq z\)情况下的二项式系数关系：
当\(y \gt z\)时，进行这样的定性分析：令变量x与变量y固定，变量z可变，探讨\(\binom{x}{n-k}-\binom{y}{n-k}=\binom{z_k}{n-k-1}\)等式随着k不断增大时，变量\(z_k\)的变化趋势：
$$
\binom{x}{n}-\binom{y}{n}=\binom{z_0}{n-1} \\
\Downarrow \\
\binom{x}{n-1}-\binom{y}{n-1}=\binom{z_1}{n-2} \\
\Downarrow \\
\binom{x}{n-2}-\binom{y}{n-2}=\binom{z_2}{n-3} \\
\Downarrow \\
\cdots \\
$$
显然，对比上面各等式的左右侧，当k从0变为1时，有：
$$
\begin{align}
\Delta_l &= \left(\binom{x}{n}-\binom{y}{n}\right)-\left(\binom{x}{n-1}-\binom{y}{n-1}\right) \\
\Delta_r &= \binom{z_0}{n-1}-\binom{z_1}{n-2}
\end{align} \\
\Downarrow \\
\Delta_l = \Theta(t^{n}) \\
\Delta_r = \Theta(t^{n-1})
$$
因此，在\(k\to n\)时，左侧的下降速率总是高于右侧的下降速率，在这样的情况下，为了维持左右两侧的等式关系，还需要变量z作出让步即减小，则有\(z_k \gt z_{k+1}\)，如此\(\binom{x}{n-1}-\binom{y}{n-1}\lt \binom{z_0}{n-2}\)
另一方面，基于已知的两则二项式系数关系：
$$
\begin{align}
\binom{x}{n} &= \binom{y}{n}+\binom{z}{n-1} \\
\binom{x}{n-1} & \lt \binom{y}{n-1}+\binom{z}{n-2} \\
\end{align} \\
\Downarrow \\
\binom{x+1}{n} \lt \binom{y+1}{n}+\binom{z+1}{n-1} \\
\Downarrow \\
\binom{x+\kappa}{n} \lt \binom{y+\kappa}{n}+\binom{z+\kappa}{n-1} \\
$$
显然，函数\(\binom{x}{n}\)相对于函数\(\binom{x}{n-1}\)而言，随着变量x的增大，两者的差值会迅速上升。这个时候若\(z \gt y\)，为了确保\(\binom{x+\kappa}{n} \lt \binom{y+\kappa}{n}+\binom{z+\kappa}{n-1}\)得以成立，则需要\(z \gg x\)，而这是与变量x和变量z两者同等增速的约束是相悖的。如此，\(z \lt y\)必然成立！
同理，对于\(\binom{x}{n+1} \lt \binom{y}{n+1}+\binom{z}{n}\)与\(z \gt y\)的关系也可类似进行论证
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