背景：
两类斯特林数可用于实现从常规幂级数到阶乘幂级数之间的相互转换，如下：
第一类斯特林数用于将阶乘幂级数转化为常规幂级数：
$$
\require{AMSmath}
x^{\underline{n}} = \sum_{k} (-1)^{n-k}
\genfrac{[}{]}{0}{0}{n}{k} x^k
$$
第二类斯特林数用于将常规幂级数转化为阶乘幂级数：
$$
x^n = \sum_{k}\genfrac{\{}{\}}{0}{0}{n}{k} x^{\underline{k}}
$$
已经清楚\(\genfrac{\{}{\}}{0}{0}{n}{n-m}\)和\(\genfrac{[}{]}{0}{0}{n}{n-m}\)均表示关于变量n的2m阶多项式，更进一步的，将两类斯特林数的适用性范围推广至任意实数r，即\(\genfrac{\{}{\}}{0}{0}{r}{r-m}\)与\(\genfrac{[}{]}{0}{0}{r}{r-m}\)，如此两类斯特林可表征为关于任意变量r的2m阶多项式
问题：
基于上述背景知识，证明下列关于任意实数z的常规幂级数与阶乘幂级数之间的转化关系：
$$
z^r = \sum_{k} \genfrac{\{}{\}}{0}{0}{r}{r-k} z^{\underline{r-k}}
$$
首先，关于变量的非整数下降阶乘的定义目前只能从伽马函数出发\(z! = \Gamma(z+1)\)：
$$
\begin{align}
z^{\underline{r}}
&= \frac{\Gamma(z+1)}{\Gamma(z-r+1)} \\
&= \frac{z!}{(z-r)!} \\
&= \lim_{m \to \infty} m^r \frac{(z-r+1)(z-r+2)\cdots (z-r+m)}{(z+1)(z+2)\cdots (z+m)}
\end{align}
$$
因此，现在我们已经清理出下降阶乘\(z^{\underline{r-k}}\)的基本定义，即\(z^{\underline{r-k}} = \frac{z!}{(z-r+k)!}\)
然后，我们需要清理出广义第二类斯特林数\(\genfrac{\{}{\}}{0}{0}{r}{r-k}\)的基本定义：
根据Concrete Mathematics数中关于斯特拉数与二阶欧拉数之间的关系，可知：
$$
\require{MnSymbol}
\genfrac{\{}{\}}{0}{0}{r}{r-k} = \sum_{j}
\left \langle \genfrac <>{0}{0}{k}{j} \right \rangle \binom{r+k-1-j}{2k} \\
\Downarrow \\
z^r = \sum_{k} \sum_{j}
\left \langle \genfrac <>{0}{0}{k}{j} \right \rangle \binom{r+k-1-j}{2k}
\frac{z!}{(z-r+k)!}
$$
基于上述准备工作，下面正式展开证明工作：
$$
\begin{align}
\sum_{k} \genfrac{\{}{\}}{0}{0}{r}{r-k} z^{\underline{r-k}}
&= \sum_{k} \genfrac{\{}{\}}{0}{0}{r}{r-k} \frac{z!}{(z-r+k)!} \\
&= \sum_{k} \genfrac{\{}{\}}{0}{0}{r}{r-k} \lim_{m \to \infty}
m^{r-k} \frac{(z-r+k+1)(z-r+k+2)\cdots (z-r+k+m)}{(z+1)(z+2)\cdots (z+m)} \\
&=
\end{align}
$$
而关于第二类斯特林数\(\genfrac{\{}{\}}{0}{0}{r}{r-k}\)，可表征如下：
$$
\genfrac{\{}{\}}{0}{0}{r}{r-k} =
\sum_{j} \binom{k-r}{k+j} \binom{k+r}{r+j} \genfrac{[}{]}{0}{0}{k+j}{j}
$$
根据斯特林数的基本定义，\(\genfrac{\{}{\}}{0}{0}{r}{r-k}\)可展开为关于二项式系数的序列，即：
$$
\genfrac{\{}{\}}{0}{0}{r}{r-k} =
$$
发表评论