背景：
现已构建了二项式系数的基本概念，在此基础上，对二项式系数进行泛化\((\dagger q \text{阶次泛化})\)，如下：
$$
\require{AMSmath}
\binom{r}{k}_q = \frac{(1-q^r)(1-q^{r-1})(1-q^{r-2})\cdots (1-q^{r-k+1})}{(1-q^k)(1-q^{k-1})(1-q^{k-2})\cdots (1-q^1)}
$$
根据上述泛化的基本定义，可知\(\lim_{q \to 1} \binom{r}{k}_q = \binom{r}{k},\dagger \text{运用洛必达法则}\)
问题01：
根据上述泛化定义，证明如下等式：
$$
(1+x)(1+qx)(1+q^2 x)\cdots (1+q^{n-1}x) = \sum_{k} \binom{n}{k}_q q^{k(k-1)/2}x^k
$$
问题02：
已知\(\binom{r}{k}=(-1)^k\binom{k-r-1}{k}\)与\(\sum_{k}\binom{r}{k}\binom{s}{n-k}=\binom{r+s}{n}\)，将这两个等式推广至q阶次二项式系数
解构01：
考虑到q阶二项式系数\(\binom{n}{k}_q\)较为复杂，决定采用数学归纳法的方式进行论证：
第一步：当\(n=1\)时，解构如下：
$$
\begin{align}
\sum_{k} \binom{n}{k}_q q^{k(k-1)/2}x^k &= \binom{1}{0}_q x^0 + \binom{1}{1}_q x^1 \\
&= 1+x \end{align}
$$
显然，等式左侧等于等式右侧
第二步：假设上述等式在\(n-1\)时成立，即满足：
$$
(1+x)(1+qx)(1+q^2 x)\cdots (1+q^{n-2}x) = \sum_{k} \binom{n-1}{k}_q q^{k(k-1)/2}x^k
$$
第三步：证明上述等式在n时的成立性：
$$
\begin{align}
(1+x)(1+qx)(1+q^2 x)\cdots (1+q^{n-1}x)
&= (1+x)(1+qx)(1+q^2 x)\cdots (1+q^{n-2}x) \cdot (1+q^{n-1}x) \\
&= (1+q^{n-1}x)\sum_{k} \binom{n-1}{k}_q q^{k(k-1)/2}x^k \\
&= \sum_{k} \binom{n-1}{k}_q q^{k(k-1)/2}x^k + \sum_{k} \binom{n-1}{k}_q q^{n-1} q^{k(k-1)/2}x^{k+1} \\
&= \sum_{k} \binom{n-1}{k}_q q^{k(k-1)/2}x^k + \sum_{k} \binom{n-1}{k-1}_q q^{n-1} q^{(k-2)(k-1)/2}x^{k} \\
&= \sum_{k=0}^{n-1} \left( \binom{n-1}{k}_q q^{k(k-1)/2} + \binom{n-1}{k-1}_q q^{n-1} q^{(k-2)(k-1)/2} \right)x^k + q^{n(n-1)/2}x^n\\
&= \sum_{k=0}^{n-1} \left( \binom{n-1}{k}_q + \binom{n-1}{k-1}_q q^{n-k} \right) q^{k(k-1)/2} x^k +q^{n(n-1)/2}x^n \\
&= \sum_{k=0}^{n-1} \binom{n}{k} q^{k(k-1)/2} x^k +q^{n(n-1)/2}x^n \\
&= \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} q^{k(k-1)/2} x^k \\
\end{align}
$$
至此，问题01中的等式关系得到论证！
问题02解构：
将二项式系数变换关系\(\binom{r}{k}=(-1)^k\binom{k-r-1}{k}\)推导至q阶二项式系数\(\binom{r}{k}_q\)：
$$
\begin{align}
\binom{k-r-1}{k}_q &= \frac{(1-q^{k-r-1})(1-q^{k-r-2})(1-q^{k-r-3})\cdots (1-q^{-r})}{(1-q^k)(1-q^{k-1})(1-q^{k-2})\cdots (1-q^1)} \\
&= (-1)^k q^{-r}\frac{(q^r-q^{k-1})(q^r-q^{k-2})(q^r-q^{k-3})\cdots (q^r-1)}{(1-q^k)(1-q^{k-1})(1-q^{k-2})\cdots (1-q^1)} \\
&= (-1)^k q^{-r} q^{k-1} \cdot q^{k-2}\cdots q \frac{(q^r-q^{k-1})(q^r-q^{k-2})(q^r-q^{k-3})\cdots (q^r-1)}{(1-q^k)(1-q^{k-1})(1-q^{k-2})\cdots (1-q^1)} \\
&= (-1)^k q^{k(k-1)/2-r} \binom{r}{k}
\end{align}
$$
将二项式变换关系\(\sum_{k}\binom{r}{k}\binom{s}{n-k}=\binom{r+s}{n}\)推广至q阶二项式系数中：
$$
\begin{align}
\sum_{k}\binom{r+s}{k}_q q^{k(k-1)/2} x^k &= (1+x)(1+qx)\cdots (1+q^{r-1}x) \cdot (1+q^rx)(1+q^rx q)\cdots (1+q^rx q^{s-1}) \\
&= \left( \sum_{k}\binom{r}{k}_q q^{k(k-1)/2}x^k \right) \left( \sum_{k}\binom{s}{k}_q q^{k(k-1)/2} q^{rk}x^k \right)
\end{align}
$$
现在分析上述等式左右两侧的项\(x^n\)的系数：
显然等式左侧的项\(x^n\)的系数为\(\binom{r+s}{n}_q q^{n(n-1)/2}\)，现将工作重心转移至寻找等式右侧的项\(x^n\)的系数：
$$
\begin{align}
\sum_{l+\lambda=n} \binom{r}{l}_q q^{l(l-1)/2} x^l \cdot \binom{s}{\lambda}_q q^{\lambda(\lambda-1)/2} q^{r \lambda} x^{\lambda}
&= \sum_{k} \binom{r}{k}_q q^{k(k-1)/2} \cdot \binom{s}{n-k}_q q^{(n-k)(n-k-1)/2} q^{r (n-k)} x^{n} \\
&=q^{n(n-1)/2} \sum_{k} \binom{r}{k}_q \binom{s}{n-k}_q q^{k(k-1)/2} q^{(k^2-k(2n-1))/2} q^{r (n-k)} x^{n} \\
&=q^{n(n-1)/2} \sum_{k} \binom{r}{k}_q \binom{s}{n-k}_q q^{k(k-1)/2} q^{k^2-kn} q^{r (n-k)} x^{n} \\
&=q^{n(n-1)/2} \sum_{k} \binom{r}{k}_q \binom{s}{n-k}_q q^{(r-k) (n-k)} x^{n} \\
\end{align}
$$
因此，获得关于q阶二项式系数的卷积等式关系如下：
$$
\binom{r+s}{n}_q= \sum_{k} \binom{r}{k}_q \binom{s}{n-k}_q q^{(r-k) (n-k)}
$$
发表评论