计算机程序设计艺术

背景：

已知贝塔函数\(\beta(x,y)\)存在如下三条基本定理：

• \(\beta(1,x) = \beta(x,1) = \frac{1}{x}\)
• \(\beta(x,y+1)+\beta(x+1,y) = \beta(x,y)\)
• \(\beta(x,y) = \frac{x+y}{y}\beta(x,y+1)\)

另外，贝塔函数与二项式之间存在基本关系：\(\require{AMSmath}\binom{r}{k} = \frac{1}{(r+1)\beta(k+1,r-k+1)}\)

问题：

计算极限\(\lim_{r\to \infty} \binom{r}{k}/r^k\)

解构：

根据二项式系数与贝塔函数之间的关系，将极限式子展开如下：

$$
\begin{align}
\lim_{r\to \infty} \binom{r}{k} /r^k
&= \lim_{r\to \infty} \left. 1 \right/r^k (r+1) \beta(k+1,r-k+1) \\
&= \lim_{r\to \infty} \left.  (r-k)^{k+1} \right/r^k (r+1) (r-k)^{k+1} \beta(k+1,r-k+1) \\
&= 1/\Gamma(k+1) \lim_{r\to \infty} \left.  (r-k)^{k+1} \right/r^k (r+1)  \\
&= 1/\Gamma(k+1)
\end{align}
$$