背景：
已知二项式\(\require{AMSmath} \binom{r}{k}\)可表征为关于贝塔函数的关系：\(\binom{r}{k} = \frac{1}{(r+1)\beta(k+1,r-k+1)}\)
问题：
证明关于二项式系数的等式关系：\(\binom{r}{\frac{1}{2}} =\left. 2^{2r+1} \right /\binom{2r}{r} \pi \)
解构：
根据背景中关于贝塔函数与二项式系数之间的关系，以及贝塔函数的基本定理\(\beta(x,y+1)= \frac{y}{x+y}\beta(x,y)\)，可获得如下关系：
$$
\begin{align}
\binom{r}{\frac{1}{2}} &= \frac{1}{(r+1)\beta(1+\frac{1}{2},r+\frac{1}{2})} \\
&= \frac{1}{(r+1)\frac{r-1+1/2}{r+1}\beta(1+\frac{1}{2},r-1+\frac{1}{2})} \\
&= \frac{1}{(r+1)\frac{r-1+1/2}{r+1}\frac{r-2+1/2}{r}\beta(1+\frac{1}{2},r-2+\frac{1}{2})} \\
&= \cdots \\
&= \frac{1}{(r+1)\frac{r-1+1/2}{r+1}\frac{r-2+1/2}{r}\cdots \frac{1+1/2}{3}\beta(1+\frac{1}{2},1+\frac{1}{2})} \\
&= \frac{1}{(r-1+1/2)\frac{r-2+1/2}{r}\cdots \frac{1+1/2}{3}\frac{1/2}{2}\frac{1}{1}\beta(\frac{1}{2},\frac{1}{2})} \\
&= \frac{2^r r!}{(2r-1)(2r-3)\cdots 1 \beta(1/2,1/2)} \\
&= \frac{2^{2r+1} r! \cdot r!}{2r(2r-1)(2r-2)(2r-3)\cdots 1 \beta(1/2,1/2)} \\
&= \frac{2^{2r+1}}{\binom{2r}{r}\pi}
\end{align}
$$
至此，等式关系得到论证！
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