背景：
贝塔函数的基本定义为\(\beta(x,y)=\int_{0}^{1}t^{x-1} (1-t)^{y-1} dt\)，已知贝塔函数满足如下三个基本关系：
- \(\beta(x,1)=\beta(1,x)=1/x\)
- \(\beta(x+1,y)+\beta(x,y+1) =\beta(x,y)\)
- \(\beta(x,y) = \frac{x+y}{y}\beta(x,y+1) \)
问题：
在上述关于贝塔函数的背景知识点基础上，将二项式\(\require{AMSmath} \binom{r}{k}\)表征为贝塔函数的结构形式。
解构：
首先，根据贝塔函数第三条基本定理，可得到如下关系式：
$$
\begin{align}
\beta(x,y) &= \frac{x+y}{y} \beta(x,y+1)\\
&= \frac{x+y}{y}\frac{x+y+1}{y+1} \beta(x,y+1)\\
&= \cdots \\
&= \frac{x+y}{y}\frac{x+y+1}{y+1}\cdots \frac{x+y+k-1}{y+k-1} \beta(x,y+k-1) \tag{1} \\
\end{align}
$$
令\(y=1\)，则式(1)可进一步表征如下：
$$
\begin{align}
\beta(x,1) &= \frac{(x+1)(x+2)\cdots (x+k)}{k!}\beta(x,k) \\
&=(-1)^k \frac{(-x-1)(-x-2)\cdots (-x-k)}{k!}\beta(x,k) \\
&= (-1)^k \binom{-x-1}{k} \beta(x,k) \\
&= \binom{x+k}{k}\beta(x,k) \\
\end{align}
$$
令\(x=r-k\)，则可获得二项式\(\require{AMSmath} \binom{r}{k}\)的关于贝塔函数的表达式如下：
$$
\begin{align}
\binom{r}{k} &= \frac{\beta(r-k,1)}{\beta(r-k,k)} \\
&= \frac{1}{r-k} / \int_{0}^{1} t^{r-k-1} (1-t)^{k-1} dt \\
&= 1 / \left( (k-1)\int_{0}^{1} t^{r-k} (1-t)^{k-2} dt \right)\\
&= 1 / ( (k-1)\beta(r-k+1,k-1))\\
&= 1/ ( (r+1)\beta(r-k+1,k))\\
\end{align}
$$
发表评论